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最短路径问题 (迪杰斯特拉算法,弗洛伊德算法)

admin

11月 28, 2021

迪杰斯特拉算法 

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法,用于计算一个结点到其他结点的最短路径。 它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想),直到扩展到终点为止。 

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程 

设置出发顶点为v,顶点集合V{v1,v2,vi…},v到V中各顶点的距离构成距离集合Dis,Dis{d1,d2,di…},Dis集合记录着v到图中各顶点的距离(到自身可以看作0,v到vi距离对应为di)

  1. 从Dis中选择值最小的di并移出Dis集合,同时移出V集合中对应的顶点vi,此时的v到vi即为最短路径
  2. 更新Dis集合,更新规则为:比较v到V集合中顶点的距离值,与v通过vi到V集合中顶点的距离值,保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为vi,表明是通过vi到达的)
  3. 重复执行两步骤,直到最短路径顶点为目标顶点即可结束 

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法最佳应用-最短路径 

战争时期,胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ,现在有六个邮差,从G点出发,需要分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F 六个村庄

各个村庄的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 5公里

问:如何计算出G村庄到 其它各个村庄的最短距离?  如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少? 

思路图解

代码实现


import java.util.Arrays;

public class DijkstraAlgorithm {

	public static void main(String[] args) {
		char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
		//邻接矩阵
		int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
		final int N = 65535;// 表示不可以连接
		matrix[0]=new int[]{N,5,7,N,N,N,2};  
        matrix[1]=new int[]{5,N,N,9,N,N,3};  
        matrix[2]=new int[]{7,N,N,N,8,N,N};  
        matrix[3]=new int[]{N,9,N,N,N,4,N};  
        matrix[4]=new int[]{N,N,8,N,N,5,4};  
        matrix[5]=new int[]{N,N,N,4,5,N,6};  
        matrix[6]=new int[]{2,3,N,N,4,6,N};
        //创建 Graph对象
        Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
        //测试, 看看图的邻接矩阵是否ok
        graph.showGraph();
        //测试迪杰斯特拉算法
        graph.dsj(2);//C
        graph.showDijkstra();
        
        
	}

}

class Graph {
	private char[] vertex; // 顶点数组
	private int[][] matrix; // 邻接矩阵
	private VisitedVertex vv; //已经访问的顶点的集合

	// 构造器
	public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {
		this.vertex = vertex;
		this.matrix = matrix;
	}
	
	//显示结果
	public void showDijkstra() {
		vv.show();
	}

	// 显示图
	public void showGraph() {
		for (int[] link : matrix) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}
	
	//迪杰斯特拉算法实现
	/**
	 * 
	 * @param index 表示出发顶点对应的下标
	 */
	public void dsj(int index) {
		vv = new VisitedVertex(vertex.length, index);
		update(index);//更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
		for(int j = 1; j <vertex.length; j++) {
			index = vv.updateArr();// 选择并返回新的访问顶点
			update(index); // 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
		} 
	}
	
	
	
	//更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点,
	private void update(int index) {
		int len = 0;
		//根据遍历我们的邻接矩阵的  matrix[index]行
		for(int j = 0; j < matrix[index].length; j++) {
			// len 含义是 : 出发顶点到index顶点的距离 + 从index顶点到j顶点的距离的和 
			len = vv.getDis(index) + matrix[index][j];
			// 如果j顶点没有被访问过,并且 len 小于出发顶点到j顶点的距离,就需要更新
			if(!vv.in(j) && len < vv.getDis(j)) {
				vv.updatePre(j, index); //更新j顶点的前驱为index顶点
				vv.updateDis(j, len); //更新出发顶点到j顶点的距离
			}
		}
	}
}

// 已访问顶点集合
class VisitedVertex {
	// 记录各个顶点是否访问过 1表示访问过,0未访问,会动态更新
	public int[] already_arr;
	// 每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新
	public int[] pre_visited;
	// 记录出发顶点到其他所有顶点的距离,比如G为出发顶点,就会记录G到其它顶点的距离,会动态更新,求的最短距离就会存放到dis
	public int[] dis;
	
	//构造器
	/**
	 * 
	 * @param length :表示顶点的个数 
	 * @param index: 出发顶点对应的下标, 比如G顶点,下标就是6
	 */
	public VisitedVertex(int length, int index) {
		this.already_arr = new int[length];
		this.pre_visited = new int[length];
		this.dis = new int[length];
		//初始化 dis数组
		Arrays.fill(dis, 65535);
		this.already_arr[index] = 1; //设置出发顶点被访问过
		this.dis[index] = 0;//设置出发顶点的访问距离为0
				
	}
	/**
	 * 功能: 判断index顶点是否被访问过
	 * @param index
	 * @return 如果访问过,就返回true, 否则访问false
	 */
	public boolean in(int index) {
		return already_arr[index] == 1;
	}
	
	/**
	 * 功能: 更新出发顶点到index顶点的距离
	 * @param index
	 * @param len
	 */
	public void updateDis(int index, int len) {
		dis[index] = len;
	}
	/**
	 * 功能: 更新pre这个顶点的前驱顶点为index顶点
	 * @param pre
	 * @param index
	 */
	public void updatePre(int pre, int index) {
		pre_visited[pre] = index;
	}
	/**
	 * 功能:返回出发顶点到index顶点的距离
	 * @param index
	 */
	public int getDis(int index) {
		return dis[index];
	}
	
	
	/**
	 * 继续选择并返回新的访问顶点, 比如这里的G 完后,就是 A点作为新的访问顶点(注意不是出发顶点)
	 * @return
	 */
	public int updateArr() {
		int min = 65535, index = 0;
		for(int i = 0; i < already_arr.length; i++) {
			if(already_arr[i] == 0 && dis[i] < min ) {
				min = dis[i];
				index = i;
			}
		}
		//更新 index 顶点被访问过
		already_arr[index] = 1;
		return index;
	}
	
	//显示最后的结果
	//即将三个数组的情况输出
	public void show() {
		
		System.out.println("==========================");
		//输出already_arr
		for(int i : already_arr) {
			System.out.print(i + " ");
		}
		System.out.println();
		//输出pre_visited
		for(int i : pre_visited) {
			System.out.print(i + " ");
		}
		System.out.println();
		//输出dis
		for(int i : dis) {
			System.out.print(i + " ");
		}
		System.out.println();
		//为了好看最后的最短距离,我们处理
		char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
		int count = 0;
		for (int i : dis) {
			if (i != 65535) {
				System.out.print(vertex[count] + "("+i+") ");
			} else {
				System.out.println("N ");
			}
			count++;
		}
		System.out.println();
		
	}

}

弗洛伊德算法 

和Dijkstra算法一样,弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名 

弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径 

迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。 

弗洛伊德(Floyd)算法最佳应用-最短路径 

胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) 各个村庄的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 5公里 问:如何计算出各村庄到 其它各村庄的最短距离?  

思路图解

第一轮循环中,以A(下标为:0)作为中间顶点,距离表和前驱关系更新为:

分析如下:

  1. 以A顶点作为中间顶点是,B->A->C的距离由N->9,同理C到B;C->A->G的距离由N->12,同理G到C
  2. 更换中间顶点,循环执行操作,直到所有顶点都作为中间顶点更新后,计算结束

代码实现


import java.util.Arrays;

public class FloydAlgorithm {

	public static void main(String[] args) {
		// 测试看看图是否创建成功
		char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
		//创建邻接矩阵
		int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
		final int N = 65535;
		matrix[0] = new int[] { 0, 5, 7, N, N, N, 2 };
		matrix[1] = new int[] { 5, 0, N, 9, N, N, 3 };
		matrix[2] = new int[] { 7, N, 0, N, 8, N, N };
		matrix[3] = new int[] { N, 9, N, 0, N, 4, N };
		matrix[4] = new int[] { N, N, 8, N, 0, 5, 4 };
		matrix[5] = new int[] { N, N, N, 4, 5, 0, 6 };
		matrix[6] = new int[] { 2, 3, N, N, 4, 6, 0 };
		
		//创建 Graph 对象
		Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex);
		//调用弗洛伊德算法
		graph.floyd();
		graph.show();
	}

}

// 创建图
class Graph {
	private char[] vertex; // 存放顶点的数组
	private int[][] dis; // 保存,从各个顶点出发到其它顶点的距离,最后的结果,也是保留在该数组
	private int[][] pre;// 保存到达目标顶点的前驱顶点

	// 构造器
	/**
	 * 
	 * @param length
	 *            大小
	 * @param matrix
	 *            邻接矩阵
	 * @param vertex
	 *            顶点数组
	 */
	public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) {
		this.vertex = vertex;
		this.dis = matrix;
		this.pre = new int[length][length];
		// 对pre数组初始化, 注意存放的是前驱顶点的下标
		for (int i = 0; i < length; i++) {
			Arrays.fill(pre[i], i);
		}
	}

	// 显示pre数组和dis数组
	public void show() {

		//为了显示便于阅读,我们优化一下输出
		char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
		for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
			// 先将pre数组输出的一行
			for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
				System.out.print(vertex[pre[k][i]] + " ");
			}
			System.out.println();
			// 输出dis数组的一行数据
			for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
				System.out.print("("+vertex[k]+"到"+vertex[i]+"的最短路径是" + dis[k][i] + ") ");
			}
			System.out.println();
			System.out.println();

		}

	}
	
	//弗洛伊德算法, 比较容易理解,而且容易实现
	public void floyd() {
		int len = 0; //变量保存距离
		//对中间顶点遍历, k 就是中间顶点的下标 [A, B, C, D, E, F, G] 
		for(int k = 0; k < dis.length; k++) { // 
			//从i顶点开始出发 [A, B, C, D, E, F, G]
			for(int i = 0; i < dis.length; i++) {
				//到达j顶点 // [A, B, C, D, E, F, G]
				for(int j = 0; j < dis.length; j++) {
					len = dis[i][k] + dis[k][j];// => 求出从i 顶点出发,经过 k中间顶点,到达 j 顶点距离
					if(len < dis[i][j]) {//如果len小于 dis[i][j]
						dis[i][j] = len;//更新距离
						pre[i][j] = pre[k][j];//更新前驱顶点
					}
				}
			}
		}
	}
}

弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法

迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点,求出从出发访问顶点到其他顶点的最短路径;弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点,所以需要将每一个顶点看做被访问顶点,求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径。 

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