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第五章-矩阵的特征值和特征向量

admin

11月 28, 2021

特征值,特征向量: A是n阶方阵, 对于数λ, 若存在非零列向量α,使得Aα=λα, 此时λ就是特征值, α对应于λ的特征向量

  • λEα – Aα = 0, (λE-A)α=0, 所以(λE-A)x=0  的非零解↔|λE-A|=0
    • λE-A: 叫做特征矩阵
    • |λE-A|: 叫做特征多项式
    • |λE-A|: 叫做特征方程
    • λ: 叫做特征值, 特征根
  • λ是A的特征值, α是λ对应对的特征向量, cα也是λ的特征向量(c≠0)
  • 解带λ的行列式:
    • 完全展开|X|得方程组,(不推荐)
    • 把某行尽可能化为零, 按行展开
    • 提公因子(含λ)
    • 相反数, 相同数, 行和列相同

特征值, 特征向量的基本性质:

  • A和AT有相同的特征值(注:特征向量不一定相同)
  • n个特征值λ1, λ2…λn, 
    • ∑λi=Σaii(i=1,…n)(特征值的和=矩阵对角线元素的和)
    • λ1·λ2·…λn = |A|(所有特征值相乘=行列式的值)
    • A可逆的充要条件是A≠0
  • 互不相同的特征值λ1,λ2,…λm对应的特征向量α1,α2,…αn线性无关
  • Kλ是KA的特征值, 
  • λk是Ak的特征值
  • 1/λ|A|是A*的特征值

相似矩阵:, A,B是两个同阶方阵, 存在n阶可逆矩阵P, 使得P-1AP=B, 那么我们就说方阵A,B相似. A~B

  • 反身性: A~A, E-1AE=B 
  • 对称性: A~B→B~A
  • 传递性: A~B, B~C→A~C, P-1AP=B, Q-1BQ=C, 所以Q-1P-1APQ=C  (PQ)-1A(PQ)=C
  • A~B, A,B具有相同的特征值, 矩阵A,B的行列式|A|=|B|, 矩阵的迹tr(A)=tr(B)(迹是指祝对角线元素相加)
    • |λE-A|=|λE-B|, 因为:P-1AP=B,所以|λE-P-1AP|=|λP-1EP-P-1AP|=|P-1||λE-A||P| = |λE-A|
  • 如果A~B, A可逆↔B可逆, A-1~B-1
  • 如果A~B, 则Am~Bm
  • 两个矩阵相似:
    • tr(A)=tr(B)
    • |A|=|B|
    • 均可逆或者不可逆
    • A-1~B-1
    • Am~Bm
    • 特征值相同
    • r(A)=r(B)
  • 定理: A相似余对角形↔A有n个线性无关的特征向量
  • 推论: A有n个异互的特征根, A~对角形
  • 定理: A~对角形↔对于ri重根, 基础解系有ri个解

实对称矩阵的对角化

  • 含有n个线性无关向量的矩阵对角化
  • 内积:2个向量(同型)的对应元素乘积的和(本质实一个数)
    • 本身性, (α·α)=α122232≥0   (α·α)=0↔α=0
    • 对称性, (α·β)=(β·α)
    • 齐次性, (kα·β)=k(α·β), (α·kβ)=k(α·β), (kα·kβ)=k2(α·β), (α+β, γ)=(α,γ)+(β,γ), (k1α1+k2α2, m1β1+m2β2)=k1m112)+k1m212)+k2m121)+k2m222)
    • (α·β)=αT·β=α·βT 

向量的长度(范数, 模)

  • 向量自身内积开平方: ||α||=(α·α)1/2  推广: (α·α)=||α||2   当α=(-1, -1, 5), ||α||=[(-1)2+(-1)2+52]1/2  点到原点的距离,  特别的: ||α||=1, 单位向量, eg:α=(1,0,0),  单位化(标准化)
  • 性质1: ||α||≥0, ||α||=0↔α=0
  • 性质2(齐次性): ||kα||=|k|||α||
  • 性质3: |(α,β)|≤||α||·||β||
  • 性质4(三角不等式):||α+β||≤||α||+||β||
  • 性质5(正交,垂直):(α,β)=0   α垂直β   (0,α)=0
  • 性质6(正交向量组): α1, …αs, 两两正交(不包含零向量)
  • 定理: α1,…αs正交向量组, α1,…αs线性无关

施密特正交化

  • 给一组线性无关的向量组α1,…αs, 求与之等价的正交β1,…βs
    • β1=α1
    • β2=α2-[(α2,β1)/(β1,β1)]β1
    • β3=α3-[(α3,β1)/(β2,β1)]β1-[(α3,β2)/(β2,β2)]β2
    • β4=α4-[(α4,β1)/(β1,β1)]β1-[(α4,β2)/(β2,β2)]β2-[(α4,β3)/(β3,β3)]β3

正交矩阵:

  • 定义: 如果矩阵A是以个n阶方阵, 则AAT=E, 就说明A为正交矩阵
  • 性质1: 如果矩阵A实正交矩阵, 则|A|=1 or -1 ,, 证明: ATA=E, |ATA|=1, |AT||A|, |A|2=1
  • 性质2:矩阵A为正交矩阵, A-1=AT, 且A-1和AT均正交
  • 性质3:如果A,B实正交矩阵, 那么A·B也是正交矩阵(AB)TAB=BTATAB=BTB=E
  • 性质4: A正交矩阵, α,β列, (Aα, Aβ)=(α,β)
  • 定理: 如果A是正交矩阵↔矩阵A的列(行)向量是标准正交向量组

实对称矩阵的对角化

  • 定理: 是对称矩阵A的不同特征值的特征向量正交
  • 正交相似: A,B同阶,存在正交矩阵P,使得P-1AP=B, 那么A,B叫做正交相似

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