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Eular筛法

admin

11月 28, 2021

#1295 : 数论二·Eular质数筛法

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描述

小Ho:小Hi,上次我学会了如何检测一个数是否是质数。于是我又有了一个新的问题,我如何去快速得求解[1,N]这个区间内素数的个数呢?

小Hi:你自己有什么想法么?

小Ho:有!我一开始的想法是,自然我们已经知道了如何快速判定一个数是否是质数,那么我就直接将[1,N]之间每一个数判定一次,就可以得到结果。但我发现这个方法太笨了。

小Hi:确实呢,虽然我们已经通过快速素数检测将每一次判定的时间复杂度降低,但是N个数字的话,总的时间复杂度依旧很高。

小Ho:是的,所以后来我改变了我的算法。我发现如果一个数p是质数的话,那么它的倍数一定都是质数。所以我建立了一个布尔类型的数组 isPrime,初始化都为true。我从2开始枚举,当我找到一个isPrime[p]仍然为true时,可以确定p一定是一个质数。接着我再将N以内 所有p的倍数全部设定为isPrime[p*i]=false。

写成伪代码为:

isPrime[] = true
primeCount = 0
For i = 2 .. N
	If isPrime[i] Then
		primeCount = primeCount + 1
		multiple = 2
		While (i * multiple ≤ N)
			isPrime[i * multiple] = false
			multiple = multiple + 1
		End While 
	End If
End For
  

小Hi:小Ho你用的这个算法叫做Eratosthenes筛法,是一种非常古老的质数筛选算法。其时间复杂度为O(n log log n)。但是这个算法有一个冗余的地方:比如合数10,在枚举2的时候我们判定了一次,在枚举5的时候我们又判定了一次。因此使得其时间复杂度比O(n)要 高。

小Ho:那有没有什么办法可以避免啊?

小Hi:当然有了,一个改进的方法叫做Eular筛法,其时间复杂度是O(n)的。

输入

第1行:1个正整数n,表示数字的个数,2≤n≤1,000,000。

输出

第1行:1个整数,表示从1到n中质数的个数

样例输入
9
样例输出
4


使用Eular筛法。bool数组isprim表示是否为质数,prime记录质数,对于外层枚举i,无论i是质数,还是是合数,我们都会用i的倍数去筛。但在枚举的时候,我们只枚举i的质数倍。比如2i,3i,5i,...,而不去枚举4i,6i...,

此外,在从小到大依次枚举质数p来计算i的倍数时,我们还需要检查i是否能够整除p。若i能够整除p,则停止枚举。

利用该算法,可以保证每个合数只会被枚举到一次。我们可以证明如下命题:

假设一个合数k=M*p1,p1为其最小的质因子。则k只会在i=M,primeList[j]=p1时被筛掉一次。

首先会在i=M,primeList[j]=p1时被筛掉是显然的。因为p1是k的最小质因子,所以i=M的所有质因子也≥p1。于是j循环在枚举到primeList[j]=p1前不会break,从而一定会在i=M,primeList[j]=p1时被筛掉

其次不会在其他时候被筛掉。否则假设k在i=N, primeList[j]=p1时被筛掉了,此时有k=N*p2。由于p1是k最小的质因子,所以p2 > p1,M > N且p|N。则i=N,j枚举到primeList[j]=p1时(没到primeList[j]=p2)就break了。所以不会有其他时候筛掉k。同时,不枚举合数倍数的原因也在此:对于一个合数k=M*2*3。只有在枚举到i=M*3时,才会计算到k。若我们枚举合数倍数,则可能会在i=M时,通过M*6计算到k,这样也就造成了多次重复计算了。

 1 #define ll long long
 2 #include<algorithm>
 3 #include<iostream>
 4 #include<iomanip>
 5 #include<cstring>
 6 #include<cstdlib>
 7 #include<cstdio>
 8 #include<queue>
 9 #include<ctime>
10 #include<cmath>
11 #include<stack>
12 #include<map>
13 #include<set>
14 using namespace std;
15 const int N=1000010;
16 int prim[N];
17 bool isprim[N];
18 void Eular_shine(int n){
19     memset(isprim,true,sizeof(isprim));
20     isprim[1]=0;
21     for(int i=2;i<=n;i++) {
22     if(isprim[i]) 
23         prim[++prim[0]]=i;
24     for(int j=1;j<=prim[0]&&i*prim[j]<=n;j++){
25        isprim[prim[j]*i]=false;
26         if(i%prim[j]==0) break;
27       }
28     }
29 }
30 int main() {//  please remember :infer other things from one fact
31     
32     int n;scanf("%d",&n);
33     Eular_shine(n);
34     printf("%d ",prim[0]);
35     return 0;
36 }

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