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走一走 欧拉先生 走过 的 路

由admin

11月 28, 2021

走一走  欧拉先生  走过 的 路 ，     比如 ，   自己动手 建立一个 自然对数 体系，  如何 ？

 

这些 想法 也是 隐约 由来已久  ，   但 写 这篇 文章 的 直接原因 是   今天 下午 在 民科吧 看到 这个 帖 《考大家一道数学题，请写出详细计算过程。》  https://tieba.baidu.com/p/7478296653  。

 

 

 

 

 

我在 民科吧 和 数学吧 经常 看到  学生党 提到   lim (1 + 1/n) ^ n , n -> 无穷    这个 极限，    据 （相关资料） 说，   这个 极限 就是 自然对数底 e ，也就是说，   e =  lim (1 + 1/n) ^ n , n -> 无穷  。

 

我想，     这个 极限 怎么求 先不管，    它 是 怎么来 的 ？       能不能 推导出来 ？

 

下午 的 时候，    我 试了一下，        还 真能 推导 出来  。

 

有关资料 显示，    自然对数  和   ʃ 1/x dx  这个 积分 有关，      ʃ 1/x dx   我 在 《我决定在 反相吧 开展 一系列 的 趣味课堂， 来 普及 微积分 （4）》      https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12585020.html     的  第 24 讲 提过，    它 是  dy / dx = y   这个 微分方程 的 解 的 反函数  。

 

dy / dx = y     的 意义 是   y ′= y ，   也就是 导数 和 原函数 一样，  是 同一个 函数，   也就是 存在一个   y = f ( x )  ，  使得   f ‘ ( x ) = f ( x )   。

 

我们现在 已经 知道 存在一个 指数函数  y = e^x  ,  e 为常数  可以 满足 dy / dx = y ，   求 e   。

 

因为   y = e^x  满足   dy / dx = y ，    也就是

 

[ e ^ ( x + ⊿ x ) – e ^ x ]  / ⊿ x    =    e ^ x     ,     ⊿ x -> 0

e ^ ( x + ⊿ x ) – e ^ x    =    e ^ x   *   ⊿ x

e ^ x   *   e ^ ⊿ x    –    e ^ x     =     e ^ x   *   ⊿ x

e ^ ⊿ x   –   1    =    ⊿ x

e ^ ⊿ x     =     1   +   ⊿ x

e   =    ( 1  +  ⊿ x )  ^  ( 1 / ⊿ x )

 

因为   ⊿ x  是 一个 无穷小，    ⊿ x -> 0 ，     因此，   ⊿ x  也可以写成    1 / n  ,  n ∈ N  ,   n -> 无穷，   也就是   ⊿ x = 1 / n  ,  n ∈ N  ,   n-> 无穷 ，   于是 ，

 

e   =   ( 1  +  1 / n )  ^ n    ,      n -> 无穷

 

 

还有一个 说法，   lim (1 + 1/n) ^ n , n -> 无穷    这个 极限 也叫做 “利滚利”   ，     啊，这  。

 

上文 说  “我们现在 已经 知道 存在一个 指数函数  y = e^x  ,  e 为常数  可以 满足 dy / dx = y ，   求 e   。”   ，    为什么知道 是 指数函数 而 不是 别的 函数 ？  为什么 确定 是 指数函数 而 不是 别的 函数 ？

 

这需要 一些 猜想 和 证明，    以后补上  。

 

接下来，    lim (1 + 1/n) ^ n , n -> 无穷    这个 极限  怎么求 ？     

 

有 泰勒级数 的 话，   求 e  很容易，     在 没有 泰勒级数 的 时代，   求  lim (1 + 1/n) ^ n , n -> 无穷  要 想些 办法，   可能 要 动用一些 “花招” 才行  。

 

有时候觉得，    泰勒级数 在 初等函数 领域 内 简直 是 杀手锏，    初等函数 领域 产生 的 超越数 π 、e  用 泰勒级数 表示 是 无往不利  。

 

哎 ？       初等函数 领域 还有 哪些 超越数 ？       按理， 应该 有 很多，    但印象中 据说 主要 就  π 、e   这两个  。

 

 

未完待续  。

 

说是 未完待续，      但 未来 还 续不续，    也是说不定的，     再说吧，    哈哈哈哈  。

 

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