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第七章-参数估计

admin

11月 28, 2021

点估计:

  • 估计一个数,就是点估计

区间估计:

  • 范围内的估计

参数估计:

  • 通过抽取样本构造函数来估计参数
  • 参数的空间: 就是参数的取值范围

矩估计:

  • 用样本的矩代替总体的矩
    • 一阶: X’ = 1/nΣXi
    • 二阶: A2 = 1/nΣXi2

极大似然估计:还是用样本数据的极值估计参数

  • 做题步骤: 
    1. 写总体的概率函数(离散型)或者密度函数(连续型)函数
    2. 写似然函数L(λ), 此时λ是参数, 此时要化简下似然函数
    3. 两变同时取对数ln, ln(λ)
    4. 对λ求导且令导函数为0, 求出λ

点估计的优良准则:

  • 无偏性: Eθ’ = θ
  • 总体X,EX = μ, DX = σ2,  (x1, x2,…xn)未样本
    • X’是μ的无偏估计, EX’ = μ
    • 样本方差S2是σ2的无偏估计, ES2 = σ2
    • 未修正方差S02是σ2的有偏估计
    • θ’是θ的无偏估计, g(θ’)不一定是g(θ)的无偏估计
    • S2是σ2的无偏估计, S2½不是σ2½的五片估计
  • 有效性: D(θ’1)≤D(θ’2)
    • 总体:X, EX=μ, DX=σ2
    • a12+…+an2 ≥1/n
  • 想合性: 一致性
    • limn→∞P(|θ’-θ|<ξ) = 1

置信区间

  • 区间估计:
    • 区间的长度
    • 区间的概率
    • P(θ1’≤θ≤θ2′) = 1-α   (1-α为置信度, 其实就是落在区间长度的概率)

枢轴变量

  • 枢轴变量是样本合待估参数的函数, 枢轴法是用来构造未知参数置信区间最常用的方法
  • 给定1-α, 确定F的上α/2分位数, 上(1-α/2)分位数→V1-α/2  
  • 公式:
    • P(-μα/2≤n½(x’-μ)/σ≤μα/2) = 1-(α/2)
μ(已知) σ2(已知)

(x’-μ)/σn½ ~ N(0,1)

[x’–σ/(n½α/2, x’+σ/(n½α/2]
μ(未知) σ2(未知) (x’-μ)/sn½ ~ t(n-1) [x’-s/(n½)tα/2(n-1), x’+s/(n½)tα/2(n-1)]
σ2(已知) μ(已知)

1/σ2Σ(xi-μ)2 ~ X2(n)

[Σ(xi-μ)2/X2α/2(n), Σ(xi-μ)2/X21-(α/2)(n)]
σ2(未知) μ(未知) (n-1)S22 ~ X2(n-1) [(n-1)s2]/[X2α/2(n-1)], [(n-1)s2]/[X21-(α/2)(n-1)]

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