假设检验问题:
- 总体的分布未知
- 类型未知
- 参数未知
- 对总体分布(未知)的某种推断,-假设
- 提出假设:
- 原假设(零假设)-一般没有足够的理由否定的原问题
- 备择假设(对立假设)-和原问题对立的假设
假设检验的概念:
- 对总体分布的论断就是假设检验
- 假设检验:检验假设成立与否的过程, 利用样本信息加以检验
- 假设检验问题:
- 显著性假设检验问题-唯一假设H0
- H0对H1假设检验问题
- 思想: 构造统计量T(在H0成立的情况下)→T的分布, 检验得到↔P{T←I}=α(小)
- P{(X1,…Xn)€W} = α (W:叫做H0的拒绝域)
- P{(X1,…Xn)€W’} = 1-α (W’:叫做H0的接受域)
- 步骤:
- 提出原假设H0, H1
- 假定H0成立, 取统计量T, 分布已知
- 对于给定的α, 找到P{(X1,…Xn)€W} = α
- 给出的样本数据, 由样本值(x1,…xn)求出统计量T的值.
- (x1,..,xn)€W→拒绝H0
- (x1,..,xn)€W’→接受H0
两类错误:
- 第一类错误: 弃真
- P{拒绝H0|H0为真} = α
- 第二类错误: 纳伪(取伪)
- P{接受H0|H0伪假} = β
决策 | H0为真 | H0为假 |
接受H0 | 正确决策(1-α) | 纳伪(β) |
拒绝H0 | 弃真(α) | 正确决策(1-β) |
一个正太总体的参数假设检验
- σ2=σ02, 检验μ=μ0, →U检验
- X~N(μ, σ2), (X1,X2,…,Xn)取自X的样本, 检验率:α, σ2=σ02已知, 检验H0: μ=μ0
- 第一步: H0: μ=μ0, H1: μ≠μ0
- 第二步: 假定H0成立, X ~ N(μ0, σ02)→取统计量U = (X’-μ0)/(σ0/n½) ~ N(0,1)
- 第三部: 给定义, 由P{|U|>Uα/2}=α→Uα/2
- 拒绝域: W = {(x1,…,xn)| |U|>Uα/2}
- 接受域: W’ = {(x1,…,xn)| |U|<Uα/2}
- 第四步:计算U的值|U|与Uα/2比较
- σ2未知, 检验μ=μ0, T检验法
- 第一步: H0: μ=μ0, H1: μ≠μ0
- 第二步: 假定H0成立, 取T = (X’-μ0)/(S/n½) ~ t(n-1)
- 拒绝域: W = {(x1,…xn| |t|>tα/2(n-1))}
- 第四步: 计算T的值 将|t|与tα/2(n-1)比较
检验法 | 假设 | 检验法计算及分布 | 拒绝域W |
U检验法 σ2=σ02 |
H0:μ=μ0, H1: μ=μ0 |
u= (X’-μ0)/(σ0/n½) ~ N(0,1) | |U|>Uα/2 |
H0: μ≤μ0, H: μ>μ0 | U>Uα | ||
H0: μ≥μ0, H1:μ<μ0 | U<-Uα | ||
T检验法, σ2未知 | H0:μ=μ0, H1: μ=μ0 | T =(X’-μ0)/(S/n½) ~ t(n-1) | |t| > t(α/2)(n-1) |
H0: μ≤μ0, H: μ>μ0 | t > tα(n-1) | ||
H0: μ≥μ0, H1:μ<μ0 | t<tα(n-1) |
σ2的假设检验:
- 当μ已知, σ2=σ02步骤:
- 第一步: H0: σ2=σ02, H1:σ2≠σ02
- 第二步: 假定H0成立, X ~ N(μ0,σ02), x1,…,xn是样本, 取统计量X2 (卡方分布)= [Σ(Xi-μ0)2]/σ02 ~ X2(n) →卡方分布
- 第三步: 给定α, 由P{X2>X2α/2(n)}=P{X2<X21-α/2(n)} = α/2
- 第四步: 计算X2的值, 比较
- 第一步: H0: σ2=σ02, H1:σ2≠σ02
- 第二步: 假定H0成立, X ~ N(μ0,σ02), x1,…,xn是样本, 取统计量X2 (卡方分布)= [Σ(Xi-X'(均值))2]/σ02 ~ X2(n-1) →卡方分布
- 第三步: 给定α, 由P{X2>X2α/2(n-1)}=P{X2<X21-α/2(n-1)} = α/2
- 第四步: 计算X2的值, 比较
当μ未知, 步骤:
检验法 | 假设 | 统计量及分布 | 拒绝域W |
X2检验(卡方分布) (μ=μ0已知) |
H0: σ2=σ02, H1: σ2≠σ02 | X2 = [Σ(Xi-μ0)2]/σ02 ~ X2(n) | X2>x2α/2或X2<X21-α/2(n) |
H0: σ2≤σ02, H1: σ2>σ02 | X2>Xα2(n) | ||
H0: σ2≥σ02, H1: σ2<σ02 | X2<X1-α2 (n) | ||
X2检验(卡方分布) (μ=μ0未知) |
H0: σ2=σ02, H1: σ2≠σ02 |
X2 = [(n-1)S2]/σ02 ~ X2((n-1) X2 = Σ(Xi-X’)2/σ02 |
X2>x2α/2或X2<X21-α/2(n-1) |
H0: σ2≤σ02, H1: σ2>σ02 | X2>Xα2(n-1) | ||
H0: σ2≥σ02, H1: σ2<σ02 | X2<X1-α2 (n-1) |
两个正太总体的参数假设检验
- 两个正态总体均值差异性检验
- 步骤
- 当σ12, σ22已知, 检验H0:μ1=μ2
- 第一步: 提出H0:μ1=μ2, H1: μ1≠μ2
- 第二步: 假定H0成立, 取U = (X’-Y’)/(σ12/n1 + σ22/n2) ~ N(0,1)
- 第三步: 给定α, 由P{|U|>Uα/2} = α, Uα/2→W={(x1,…xn)| |U|>Uα/2}, {(y1,…,yn)| |U|>Uα/2}
- 第四步: 计算 |U| |U|与Uα/2比较
- 步骤
- 方差σ12, σ22的差异性检验
- 步骤:
- 当σ12, σ22已知, 检验H0:μ1=μ2
- 第一步: 提出H0:μ1=μ2, H1: μ1≠μ2
- 第二步: 假定H0成立, 取T = (X’-Y’)/{[(n1-1)S12+(n2-1)S22]/(n1+n2-2)}½· (1/n1+1/n2)½
- 给定α, 由P{|T|>tα/2} = α, tα/2→W={(x1,…xn)| |t|>tα/2}, {(y1,…,yn)| |t|>tα/2}
- 计算 |T| |T|与tα/2比较
- 步骤:
检验法 | 假设 | 统计量及分布 | 拒绝域W |
U检验 (σ12,σ22已知) |
H0: μ1=μ2, H1: μ1≠μ2 | U = (X’-Y’)/(σ12/n1+σ22/n2)½ ~ N(0,1) | |U|>Uα/2 |
H0: μ1≤μ2, H1: μ1>μ2 | U>Uα | ||
H0: μ1≥μ2, H1: μ1<μ2 | U<-Uα | ||
T检验 (σ12=σ22=σ2未知) |
H0: μ1=μ2, H1: μ1≠μ2 | T = (X’-Y’)/{[(n1-1)S12+(n2-1)S22]/(n1+n2-2)}½(1/n1+1/n2-2)½ | |t|>tα/2(n1+n2-2) |
H0: μ1≤μ2, H1: μ1>μ2 | t>tα(n1+n2-2) | ||
H0: μ1≥μ2, H1: μ1<μ2 | t<-tα(n1+n2-2) |
总体方差σ12, σ22的差异性检验
- μ1, μ2都未知, 检验H0: σ12=σ22
- 第一步: 提出H0: σ12=σ22, H1: σ12≠σ22
- 第二步: 假定H0成立, 取F = S12/S22 ~ F(n1-1, n2-1)
- 第三步: 给定义 由P{F>Fα/2} = P{F<F1-α/2} = α/2, W = {(x1,…,xn)|f>fα/2(n1-1,n2-1)}或f<f1-α/2(n1-1, n2-1)
- 第四步: 计算F的值与fα/2比较